高阶常微分方程的结构
n阶线性微分方程的特点在于其最高阶导数。我们定义其一般形式为方程（1）：
$$P_0(t) \frac{d^n y}{dt^n} + P_1(t) \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \dots + P_{n-1}(t) \frac{dy}{dt} + P_n(t)y = G(t)$$ （1）
为便于理论分析，我们通常通过除以 $P_0(t)$ 来标准化该方程（假设其在关注区间内非零）。这得到 标准形式 （方程2）：
$$L[y] = \frac{d^n y}{dt^n} + p_1(t) \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \dots + p_{n-1}(t) \frac{dy}{dt} + p_n(t)y = g(t)$$ （2）
算子表示与常系数
n个导数的复杂性被整合为一个单一的线性算子 $L$。当系数为常数（$a_n$）时，表达式简化为：
$L[y] = a_0y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1}y' + a_ny = g(t)$
这种记法强调了算子 $L$ 的线性性质：$L[c_1y_1 + c_2y_2] = c_1L[y_1] + c_2L[y_2]$。这一原则确保通解由 齐次解 （$y_c$）和一个 特解 （$Y$）。
考虑 图 4.2.4：一个由两个弹簧、两个质量组成的系统，质量分别为 $m_1, m_2$，位移为 $u_1, u_2$。物理定律给出两个耦合的二阶方程。通过代入消元法分离出 $u_1$，我们可推导出一个单一的 四阶 方程。要解这个方程，我们需要 4个初始条件 （每个质量的位置和速度），才能确定唯一的物理轨迹。
例题：齐次解
求微分方程 $y''' - y'' - y' + y = 0$ 的通解。
假设 $y = e^{rt}$。代入原方程得：$r^3 - r^2 - r + 1 = 0$。
分组因式分解：$r^2(r - 1) - 1(r - 1) = 0 \implies (r^2 - 1)(r - 1) = 0$。
展开后为 $(r - 1)(r + 1)(r - 1) = (r - 1)^2(r + 1) = 0$。
根为 $r = 1$（重数为2）和 $r = -1$。由于 $r=1$ 是重根，需将第二项乘以 $t$。
$y_c(t) = c_1e^t + c_2te^t + c_3e^{-t}$